Урок з алгебри у 9 класі з використаням ІКТ «Арифметична і геометрична прогресії.»

Урок з алгебри у 9 класі з використаням ІКТ

«Арифметична і геометрична прогресії.»

 

Мета: систематизувати і узагальнити знання з теми, отримані на уроках та з додаткової літератури; формувати вміння застосовувати здобуті знання у нестандартних ситуаціях ; розвивати комунікативні навички, вміння працювати колективно; сприяти формуванню загальної культури, розширенню кругозору учнів; виховувати самостійність, відповідальність.

 

Тип уроку: урок узагальнення й систематизації знань.

Вид навчальної діяльності: захист учнівських проектів.

Обладнання: опорні карти з теми «Арифметична і геометрична прогресія», творчі проекти учнів, мультимедійний проектор.

 
  {C}{C}

«І математика безмежно різноманітна, як світ, і міститься в усьому».

 

М. П. Єругін

 

 

Напис на дошці:

                                                           

 

 

ХІД УРОКУ

 

І. Організація початку уроку. Мотивація навчальної діяльності

Доброго дня! Я вас вітаю на уроці алгебри.

Сьогодні ми узагальнимо теоретичний матеріал з теми «Числові послідовності», повторимо основні формули, заслухаємо ваші проекти, присвячені питанню застосування арифметичної та геометричної прогресій до розв’язування задач в геометрії, опису певних процесів у біології, соціології, економіці.

 

ІІ. Повторення й узагальнення понять і засвоєння відповідної їм системи знань

1) Записані на дошці послідовності назвати  і пояснити закон їх утворення:

1; 2; 3; 4; 5; 6;7…

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21…

2; 5; 8; 11; 14; 17; 20…

2; 6; 18; 54; 162…

Ряд натуральних чисел, ряд чисел Фібоначчі, арифметична прогресія із різницею 3, геометрична прогресія із знаменником 2.

2) Виконати завдання ,записане на  дошці( два учні заповнюють таблицю):

Арифметична прогресія

 

Геометрична прогресія

 

Формула n-го члена прогресії

 

 

Характеристична властивість

 

 

Формула суми n перших членів

 

 

Формула суми нескінченої спадної геометричної прогресії

 

 

 

 

 

ІІІ. Приведення одиничних знань у систему (самими учнями)

Ми повторили необхідну теорію, переходимо до практики. Слово надається першій групі.

 

ПРЕЗЕНТАЦІЯ 1.

Слайд 1. Ми підготували проект використання арифметичної прогресії при розв’язуванні трикутників. Нехай у нас є трикутник АВС, сторони якого утворюють арифметичну прогресію: АВ= а,  ВС= а+d,  АС= а+2 d.

Дослідимо властивості цього трикутника. Слайд 2.  Використаємо формули площі довільного трикутника через радіус описаного і вписаного кола.

{C}{C}{C}{C}        {C}{C}{C}{C},   де  {C}{C}

{C}{C}{C}{C},       {C}{C}

Слайд3.  Оскільки довжини сторін утворюють арифметичну прогресію, то скористаємося  цим

4Rr(a+a+d+a+2d) = 2a(a+d) (a+2d)

4Rr(3a+3d) = 2a(a+d) (a+2d)

12Rr(a+d) = 2a(a+d) (a+2d)

6Rr = a(a+2d)

6Rr = a .c

Слайд 4.  Отже, добуток найменшої і найбільшої сторони  в 6 разів більший, ніж добуток радіусів вписаного і описаного кола.

Це ми отримали першу властивість для трикутника, сторони якого утворюють арифметичну прогресію.

Розглянемо другу властивість.

Слайд 5.  Оскільки a<b<c, то, записавши характеристичну властивість арифметичної прогресії, маємо    

Для довільного трикутника за теоремою синусів  

Звідси,  {C}{C}

Підставимо і отримаємо:  {C}{C}

{C}{C}.

Отже, синус кута, що лежить проти середньої за довжиною сторони, рівний півсумі синусів двох інших кутів.

А ще можна довести, що в такому трикутнику радіус вписаного кола рівний третій частині висоти, опущеній на середню за довжиною сторону. Слайд 6.   Це доведемо на основі двох формул площі трикутника.

{C}{C}{C}{C}   і    {C}{C}

{C}{C}.

Ми розглянули властивості трикутника, довжини сторін якого утворюють арифметичну прогресію.

 

ПРЕЗЕНТАЦІЯ 2

Слайд 1.  З давніх часів відомі задачі та легенди, що приводять до появи великих чисел. Це  легенда про нагороду винахідника шахів, історія про багатого і бідного, який приносив по 10 тисяч рублів, а забирав подвоєну копійку. Та саме цікаво, що закони геометричної прогресії описують процеси в біології.

Епіграфом до нашого проекту ми взяли слова:

«Математика – панівна наука нашого часу. Її завоювання зростають день у день, хоч і без галасу. Хто не має її за себе, той колись матиме її проти себе.»

Знання теорії великих чисел потрібне не тільки математикам, а й простим людям, щоб не потрапити в ситуації, які можуть вийти з-під вашого контролю.

Слайд 2.  Розмноження рослин і тварин можна змоделювати геометричною прогресією. Розглянемо модель на прикладі розмноження квітів маку.  Одна маківка містить 3000 зерняток. Якби кожне зернятко, упавши в землю, проросло, то ми б мали ціле макове поле.

3000 х 3000 = 9 000 000 рослин.

На третій рік за сприятливих умов кількість маків сягатиме

9 000 000 х 3000 = 27 000 000 000 рослин.

А на четвертий рік

27 000 000 000 х 3000 = 81 000 000 000 000 рослин.

Слайд 3.    На п’ятий рік макам стане затісно на земній кулі, адже рослин буде в 2000 раз більше, ніж площа всіх материків і островів разом.

81 000 000 000 000 х 3000 = 243 000 000 000 000 000 рослин.

Слайд 4.  Отже, якщо б всі зернятка маку проросли б, то з однієї квітки за п’ять років густим маковим килимом, по 2000 рослин на кожному квадратному метрі, була б вкрита вся суша Землі. Але оскільки багато зерняток пропадає, знищується тваринами ,то ми такого явища не спостерігаємо.

Історія знає багато курйозних випадків, коли люди не врахували законів геометричної прогресії і були за це наказані природою.

Слайд 5.  В Америці спочатку не було горобців. Ця звична для нас пташка була завезена в США з метою знищення шкідливих комах. Горобець, як відомо, у великій кількості поїдає ненажерливу гусінь та інших комах ,які загрожують садам.

Нові умови дуже сподобались горобцям: в Америці не було хижаків, які б знищували цих птахів, і горобець став швидко розмножуватись. І кількість шкідливих комах почала помітно зменшуватися. Але скоро горобців стало так багато, що їм не вистачало шкідників саду. Вони взялися за знищення посівів фермерів. Довелося розпочати війну з горобцями, яка обійшлася американцям так дорого, що на майбутнє вони видали закон, який забороняв ввіз в Америку будь-яких тварин.

Слайд 6.  Інший приклад. В Австралії не існувало кроликів, коли цей материк був відкритий європейцями. Кролик був завезений туди в кінці 18 століття, і за відсутності хижаків, які поїдали кроликів, то розмноження цих тварин пішло надзвичайно швидко. Вони заповнили всю Австралію, завдаючи великих збитків сільському господарству, і стали справжнім лихом. На боротьбу були затрачені великі сили, і тільки завдяки енергійним заходам вдалося подолати лихо. Приблизно те саме повторилося пізніше з кроликами в Каліфорнії.

Слайд 7.  Третя повчальна історія відбулася на острові Ямайка. Тут водилися у великій кількості ядовиті змії. Для їх знищення на острів завезли птаха-секретаря. Через деякий час кількість змій різко зменшилась, зате розплодилися польові пацюки, які раніше знищувалися зміями. Вони приносили таку шкоду плантаціям цукрової тростини, що довелося серйозно задуматися над їх знищенням. Відомо, що ворогом крис є індійський мангуст. Було вирішено завезти на острів 4 пари цих тварин і дати їм можливість вільно розмножуватися. Мангусти швидко пристосувалися до нової батьківщини і швидко заселили весь острів. Не пройшло й 10 років, як вони знищили пацюків. Але знищивши їх, мангусти стали їсти все, що їм траплялося: домашніх птахів, козенят, поросят, навіть собачат. А з часом стали загрозою для плодових садів, хлібних ланів, плантацій. Жителі почали знищувати своїх недавніх союзників, але їм вдалося тільки обмежити шкоду, яку приносили мангусти.

 

ПРЕЗЕНТАЦІЯ 3

Наша група приготувала проект застосування арифметичної прогресії в фінансових задачах. Розглянемо задачу.

Слайд 1.   Кредит отриманий на 12 000 гривень під 10% річних на  залишок кредиту на 12 років зі щорічною виплатою 1/12 частини кредиту. На скільки зміняться відсоткові гроші виплати кредиту, якщо взяти цю ж суму на той самий термін під 10%    від суми кредиту?

Слайд 2.  Складемо послідовність щорічних виплат отриманого кредиту. Кожний рік залишок кредиту зменшується на

12000*1\12=1000(грн.)

Тоді відсоткові виплати за 1 рік становлять:

(12000-1000)*0,1=1100(грн.);

За другий рік - (12000-2*1000)*0,1=1000(грн.);

За третій рік – (12000-3*1000)*0,1=900(грн.);

За одинадцятий рік – (12000-11*1000)*0,1=100(грн.);

За дванадцятий – 0(грн.).

Слайд 3.  Отже, отримали арифметичну прогресію, різниця якої 100 гривень. Тому для обчислення всіх відсоткових грошей скористаємося формулою суми арифметичної прогресії:

{C}{C}(грн.)

Слайд 4.  Якщо взяти 12000гривень на 12 років під 10% річних на суму кредиту, то відсоткові виплати будуть дорівнювати:

12000*0,1=1200(грн.) Щорічно,

А років – 12, тому всі відсоткові виплати дорівнюють

1200*12=14400(грн.).

Виплати більше на 14 400 – 6 600=7 800(грн.).

 

ПРЕЗЕНТАЦІЯ 4

Слайд 1.  Ми досліджували питання, чому так швидко розходяться чутки та новини  як по школі, так і по всьому місту. Інколи не пройде і декілька годин після пригоди, яку знало всього декілька осіб, а новина облетіла вже все місто, про неї всі знають, всі чули. Це здається магічним. Але створивши математичну модель, ми описуємо це явище за допомогою формул.

Слайд 2.  Візьмемо для прикладу наше місто, в якому 50 000 населення, і уявимо, що о 8 годині ранку трапилася пригода, свідками якої були три особи: чоловік, жінка і дитина. Через 15 хвилин вони прийшли на роботу, а дитина до школи і розповіли нехай всього трьом своїм знайомим. На це витратили 15 хвилин.

Отже, через півгодини новину вже знають

1+3+3*3=13 чоловік.

Слайд 3.  Кожен із 9 обізнаних поділилися ще з трьома своїми знайомими

13+9*3=40 чоловік.

Якщо новина і далі буде поширюватися таким чином, то на 9 годину ранку вже знатимуть:          40+(3*27)=121;

О 9год. 15 хв.      121+(3*81)=364;

О 9год. 30 хв.       364+(3*243)=1093.

Слайд 4.  Ми вже помітили закономірність обрахунку числа людей, що знають новину:

1+3+3*3+3*9+3*81+3*243+…………=5 000.

Слайд 5.  Отримали суму геометричної прогресії перший елемент якої в=1, а знаменник q=3. Використаємо  формулу суми:

{C}{C};           складемо рівняння.

{C}{C}

{C}{C}{C}{C},       {C}{C}{C}{C},       {C}{C}.

{C}{C}.

Тобто, 10 раз із інтервалом 15 хвилин новина передавалася мешканцям міста. Отже, через 150 хвилин всі 50 тисяч лубенців будуть знати цю новину.

 

ПРЕЗЕНТАЦІЯ 5

Нам стало цікаво розв’язати задачу мовою числових послідовностей. Для цього вибрали задачу:

Слайд 1.  Джерела на дні озера б’ють із сталою потужністю. Стадо із 12 слонів випиває озеро за 4 хвилини, а стадо з 9 слонів за 6 хвилин. Певного дня до озера підійшли 6 слонів. За скільки хвилин вони вип’ють всю воду із цього озера?

Оскільки джерела б’ють із сталою потужністю, то кількість води за однаковий проміжок часу змінюється на однакову величину. Застосуємо до задачі математичну модель – арифметичну прогресію. Слайд 2. 

{C}{C}  - початкова кількість води в озері;

D   - кількість води, що прибуває в озеро за 1 хвилину;

N    -час;

X   - кількість води, що випиває слон за 1 хвилину;

{C}{C} - кількість води в озері, що стало за n  хвилин. Слайд 3. 

Формула загального члена арифметичної прогресії   .

Кількість води, що вип’ють 12 слонів за 4 хвилини    .

Стадо з 9 слонів за 6 хвилин вип’ють води   .

Слайд 4.  З рівнянь складемо систему:

{C}{C}

{C}{C}

…………….

2d=6x,      d=3x,     .

Якщо певного дня до озера підійде 6 слонів, то вони вип’ють води:

{C}{C}.

Слайд 5.  Підставимо знайдені величини:  ;

                                                           {C}{C};

                                                            {C}{C};

                                                                 {C}{C}.

Отже, 6 слонів вип’ють воду з озера за 12 хвилин.

 

Рефлексія

Ми прослухали захист проектів своїх однокласників.

Оформлення якого проекту вам найбільше сподобалося?

Чиї повідомлення ви вважаєте найцікавішими?

 Хто показав найкращу культуру математичного мовлення?

Якими новими знаннями ви збагатилися?

 

Домашнє завдання: повт. §6, п. 32-35, вправа 35.18

 

 

 

 

Подобається